Par ordre du dieu Anu et de la déesse Antu, que tout aille bien !

Un exercice mathématique mésopotamien

Le scribe, auteur de la tablette, s'adresse à son lecteur en lui proposant un exercice mathématique. La traduction du texte est proposée ci-dessous, suivie de son explication.

"La Grande Cour de l’Esagil, sa superficie est de 1 ikû ; ½ ikû est la superficie de la cour de la déesse Ishtar et du dieu Zababa.

Augmente (les dimensions de) la Grande Cour : 1 ikû, en ajoutant 2 ½ musharu correspondant à (la taille de) l’azamû de l’Ubshu-ukkinna. Diminue (les dimensions) de la Petite Cour : ½ ikû, en retirant 2 ½ musharu correspondant à (la taille du) suhatu qui est à côté de la porte Arkabinnu.

Au cas où tu ne comprendrais pas, longueur, largeur et aire :  

11 + ²³/₆₀ + ²⁰/₃₆₀₀,  est la longueur de la Grande Cour ;

9 est la largeur de la Grande Cour ;

(11 + ²³/₆₀ + ²⁰/₃₆₀₀) X 9 = 102 + ³⁰/₆₀ (est l'aire de la Grande Cour);

(102 + ³⁰/₆₀₎ x ¹⁸/₆₀ = 30 + ⁴⁵/₆₀ (est l'aire en capacité en grains selon la surface de la Grande Cour).

Au cas où tu ne comprendrais pas, 30 + ⁴⁵/₆₀ (qû) est la superficie d’un ikû plus 2 ½ musharu, en utilisant la grande coudée standard, (ceci est) la superficie de la Grande Cour."

Le texte décrypté

Le scribe indique d'abord les superficies de deux cours de l'Esagil en unités de surface, en ikû (1 ikû = 8100 m²).

Puis, le scribe précise que les superficies mentionnées ne correspondent pas au produit de la longueur et de la largeur de ces cours, car elles n'ont pas la forme d'un rectangle. 

– La Grande Cour comprend dans sa surface un bâtiment (l'azâmu) qui en diminue la taille. Il faut ajouter sa surface (2 ½ musharu, un musharu = 81m²) à 1 ikû pour avoir le produit longueur x largeur.

– La Petite Cour comprend un espace rectangulaire auquel s'ajoute une seconde cour adjascente (le suhatu) de 2 1/2 musharu. Il faut donc retirer cet espace à 1/2 ikû pour avoir le produit longueur x largeur.

Au cas où le lecteur serait perdu, le scribe détaille le calcul de la surface de la Grande Cour. La longueur et la largeur de la cour sont exprimées en nindanu (un nindanu = 12 coudées = 9 mètres). Elles sont notées avec des nombres entiers et des fractions. L'aire est calculée en multipliant la longueur par la largeur, le résultat est 102 + ³⁰/₆₀ musharu.

Ensuite, l'aire est convertie en unités de capacité de grain selon la surface (qû). Un qû est égal à 3 ¹/₃ musharu. Il faut donc diviser la surface exprimée en musharu par 3 ¹/₃ (ou ¹⁰/₃) pour obtenir la surface en qû. Pour cela, le scribe multiplie par l'inverse :  ³/₁₀, exprimé avec le dénominateur 60 soit ¹⁸/₆₀. Le résultat est 30 + ⁴⁵/_60.

Finalement; le résultat exprimé en capacité en grain selon la surface (qû), est de nouveau converti en unité de surface (musharu) et son multiple (ikû). Cela permet de confirmer le résultat.

Les unités de mesure selon le système "ancien" (époque kassite)

Longueur : 1 grande coudée standard (arû) = 75 cm ; 1 nindanu = 12 coudées = 9 mètres

Surface : 1 nindanu² = 1 musharu = 81m2 ; 1 ubû = 50 musharu = 4050m2 ; 1 ikû = 100 musharu = 8100 m2

Capacité selon la surface : 1 qû = 3 ¹/₃ musharu = 270 m² ; 1 sûtu = 10 qû = 2700 m² ; 1 ṣimdu = 3 sûtu = 8100 m²

Les apports de l'archéologie

Les dimensions des deux cours selon la tablette sont bien plus vastes que celles des cours intérieures du bâtiment de l'Esagil représenté ci-dessous. Elles pourraient se rapporter à des cours situées à proximité de ce bâtiment.

Le scribe poursuit avec le même exercice de calcul des surfaces, concernant cette fois la Petite Cour

"10 + ³³/₆₀ + ²⁰/₃₆₀₀ est la longueur de la Cour de la déesse Ishtar et du dieu Zababa ;

4 + ³⁰/₆₀ est la largeur de la Cour de la déesse Ishtar et du dieu Zababa ;

(10 + ³³/₆₀ + ²⁰/₃₆₀₀) X (4 + ³⁰/₆₀) = 47 + ³⁰/₆₀ (est la superficie de la Cour) ;

(47 + ³⁰/₆₀₎ x ¹⁸/₆₀ = 14 + ¹⁵/₆₀ (est la capacité en grains selon la surface de la Cour).

Au cas où tu ne comprendrais pas, 14 + ¹⁵/₆₀ (qû) est la superficie de 47 ½ musharu en utilisant la grande coudée standard, (ceci est) la taille de la [Petite] Cour."

–

Le texte décrypté

Les calculs sont effectués, de la même manière que précédemment, pour la petite cour. La surface est calculée en musharu en multipliant la longueur par la largeur. Puis, le scribe multiplie le résultat par ¹⁸/₆₀ pour obtenir la capacité en grains selon la surface exprimée en qû. Enfin, le résultat est à nouveau converti en unités de surface (musharu).

Le scribe additionne la superficie des deux cours

"Ensemble, une superficie de 1 ½ ikû, en utilisant la coudée standard arû, (est) la superficie totale des deux cours, l’enceinte avec (les portes) Ka-mah, Ka-Utu-ea, Ka-gal, Ka-Lamma-(a)rabi, Ka-hegal et Ka-ude-babbarra, les six portes d’entrée du dieu (Marduk), qui s’ouvrent autour de l’Ubshu-ukkinna pour les cérémonies religieuses du temple. L’Esagil et l’enceinte de Ka-sikilla ne sont pas pris en compte dans le calcul."

Le texte décrypté

Le scribe calcule la somme des superficies des deux cours et obtient 1 ½ ikû (12150m² soit 1,2 hectare). Il énumère ensuite les noms des principales portes du sanctuaire et précise que le sanctuaire de l'Esagil lui-même et l'enceinte Ka-sikilla ne sont pas pris en considération. 

Le scribe propose ensuite au lecteur de s'exercer au calcul de l'aire de la base de la ziggurat Etemenanki

"Les dimensions de la base de l’Etemenanki, longueur et largeur, pour [toi] qui t’entraînes : 3 ṣuppân la longueur, 3 ṣuppân la largeur, en utilisant la (petite) coudée standard aslu. Pour calculer leur produit, 3 [x 3] = 9 ; 9 X 2 = 18 ; au cas où tu ne comprendrais pas, 18 (sûtu) représente la superficie de 3 pânu en utilisant la petite coudée standard. (C’est) la base de l’Etemenanki. La hauteur correspond à la longueur [et à la largeur]."

Le texte décrypté : un second exercice de calcul des surfaces

Le système d'unités utilisé est basé cette fois sur la petite coudée stardard aslû (une coudée = 50 cm).

Dans un premier temps, l'aire est calculée en multipliant la longueur et la largeur, exprimés en ṣuppân (1 ṣuppân = 60 coudées = 30 mètres). Le résultat est de 9 ṣuppan au carré (90mètres X 90mètres = 8100m²).

Puis, le scribe calcule la capacité en grain pour cette surface (exprimée en sûtu). Un sûtu est égal à 2 ṣuppan². Il faut donc multiplier l'aire par 2 pour obtenir la capacité en grains pour la surface. On obtient 18 sûtu. Le scribe précise que 18 sûtu = 3 pânu (car 1 pânu = 6 sûtu). Il rappelle ainsi au lecteur les équivalences entre unités.

Enfin, le scribe précise que la hauteur de la ziggurat est égale à la largeur et à la longueur de la base. Elle s'inscrit donc dans un cube.

Unités de mesures selon le système "récent" (époque néo-babylonienne)

Longueur : 1 coudée aslû = 50 cm; 1 nindanu = 12 coudées = 6 mètres ; 1 ṣuppan = 60 coudées = 30 mètres

Surface : 1 nindanu² = 36m² ; 1 ṣuppan² = 900m² ; 1 ikû = 3600 m²

Capacité selon la surface : 1 qû = 75m² ; 1 sûtu = 6 qû = 450 m² ; 1 pânu = 6 sûtu = 2700m²

^{L'apport de l'archéologie}

^{Les fondation de la ziggurat de Babylone sont toujours visibles dans le paysage. La longueur et la largeur de la base de la ziggurat mesurent chacune 91 mètres, soit à peu de chose près les dimensions indiquées dans la tablette de l'Esagil.}

Suite de l'exercice

Le scribe calcule à présent l'aire de la base de la ziggurat en utilisant cette fois le système de mesure "ancien". Cet exercice permet de s'entraîner au calcul des surfaces avec différentes unités de mesure.

"L’une après l’autre, les dimensions de la base de l’Etemenanki, longueur et largeur, pour [toi] qui t’entraîne : [10 nindanu] la longueur, 10 nindanu la largeur, en utilisant la coudée standard arû. Pour calculer leur produit : [10 x 10 =] 100 ; 100 x 18/60 = 30 ; au cas où tu ne comprendrais pas 30, cela représente une superficie de 30 (qû), où 1 ikû correspond à 1 ṣimdu, [en utilisant] la grande [coudée standard], (c’est) la base de l’Etemenanki.

Longueur, largeur et hauteur mesurent de manière égale 10 nindanu chacun, en [utilisant] la [coudée standard] arû."

Le texte décrypté

Le scribe utilise le système de mesure "ancien", c'est-à-dire la grande coudée arû (1 coudée = 75cm).

Il multiplie la longueur et la largeur mesurant chacune 10 nidanu (1 nindanu = 9 mètres), et obtient 100 nindanu²,soit 100 musharu. Puis il multiplie le résultat par ¹⁸/₆₀ pour obtenir la capacité en grain selon la surface : 30 qû. 

Il précise que dans ce système de mesure, une aire de 1 ikû (=100 musharu, 8100m²) est équivalent à une capacité en grain selon la surface de 1 ṣimdu (30 qû = 8100 m²).

Enfin, il indique à nouveau que la hauteur de la ziggurat est égale à la longueur des côtés de la base.

Unités de mesure selon le système "ancien" (époque kassite) :

Longueur : 1 grande coudée standard (arû) = 75 cm ; 1 nindanu = 12 coudées = 9 mètres

Surface : 1 nindanu² = 1 musharu = 81m2 ; 1 ubû = 50 musharu = 4050m2 ; 1 ikû = 100 musharu = 8100 m2

Capacité selon la surface : 1 qû = 3 ¹/₃ musharu = 270 m² ; 1 sûtu = 10 qû = 2700 m² ; 1 ṣimdu = 3 sûtu = 8100 m²

L'apport de l'archéologie

Les fondation de la ziggurat de Babylone sont toujours visibles dans le paysage. La longueur et la largeur de la base de la ziggurat mesurent chacune 91 mètres, soit à peu de chose près les dimensions indiquées dans la tablette de l'Esagil.

Le scribe passe de la base de la ziggurat à son sommet. Le dernier et septième étage est composé d'un temple, dont il détaille l'architecture intérieure

"Les dimensions des six chapelles que l’on appelle le temple de la ziggurat.

Les chambres à l’est, les chapelles des dieux : 2 (nindanu) la longueur, 40/60 la largeur ; […] la chapelle du dieu Nabû et de la déesse Tashmêtum, pour chacune : 45/60 la longueur, 40/60 la largeur.

Les deux chambres au nord, du dieu Ea et du dieu Nuska : la chapelle du dieu Ea : 1 + 25/60 la longueur,  30/60 la largeur ; la chapelle du dieu Nuska : 35/60 la longueur, 35/60 la largeur.

La chambre du sud, la chapelle du dieu Anu et du dieu Enlil : 1+10/60 la longueur, 30/60 la largeur.

Les chambres à l’ouest, la chambre double et derrière elle, l’escalier : la partie^? extérieure (et) la chambre à coucher : 2 + 5/60  la longueur, 30/60 la largeur ; la partie^? intérieure : 1+ 40/60 la longueur, 20/60 la largeur, les escaliers, même longueur et largeur. La cour : 1+ 40/60 la longueur, 1 + 5/60 la largeur, la cour est couverte d’un toit.

Le lit : 9 coudées la longueur, 4 coudées la largeur. Le lit et le trône sont à l’opposé l’un de l’autre et entourés de cercles(?). Un autre lit est situé dans la cour. Porte du Soleil Levant, Porte du Sud, Porte du Soleil Couchant et Porte du Nord."

Le texte décrypté

Les dimensions des différents espaces du temple au sommet de la ziggurat sont exprimées en nidanu (unité de longueur dans le système récent, 1 nindanu = 6 mètres), ou en coudée (il s'agit de la petite coudée, qui mesure 50 cm).

Les longueur sont notées à l'aide de nombres entiers ou/et de fractions sexagésimales.

Le scribe donne les dimensions des différents étages de la tour, ce qui permet d'avoir une vision d'ensemble de la la ziggurat Etemenanki

Les dimensions, longueur, largeur, et hauteur (de l’Etemenanki) : son nom est la ziggurat de Babylone

15 nindanu la longueur, 15 nindanu la largeur, 5 ½ nindanu la hauteur : la plate-forme de fondation.

13 nindanu la longueur, 13 nindanu la largeur, 3 nindanu la hauteur : le deuxième étage.

10 nindanu la longueur, 10 nindanu la largeur, 1 nindanu la hauteur : le troisième étage.

8 ½ nindanu la longueur, 8 ½ nindanu la largeur, 1 nindanu la hauteur : le quatrième étage.

7 nindanu la longueur, 7 nindanu de large, 1 nindanu la hauteur : le cinquième étage.

< 5 ½ nindanu la longueur, 5 ½ nindanu la largeur, 1 nindanu la hauteur : le sixième étage > (le scribe a oublié cette ligne).

4 nindanu la longueur, 3 ¾ nindanu la largeur, 2 ½ nindanu la hauteur : le sanctuaire situé au sommet, le septième étage, et le bâtiment shahûru.

Le texte décrypté

Le scribe note les dimensions (longueur, largeur et hauteur) des sept étages de la tour, le septième étant le temple situé à son sommet. Ces mesures sont exprimées en nindanu, selon le système récent (1 nindanu = 6 mètres).

Le colophon indique que le contenu de cette tablette s'adresse aux scribes initiés, et qu'il s'agit d'une copie dûment vérifiée

"Puisse l’initié instruire l’initié ! Le non initié ne devra pas voir (ceci) ! D’après un (texte) original de Borsippa, écrit, recopié et collationné."

La tablette se termine par une table métrologique établissant les équivalences des différentes unités de mesures

"[…] 50 musharu = 1 ubû = 1 sûtu 3 qû ;

2 ubû = 1 ikû = 1 ṣimdu ;

6 ikû = 1 eblu = 3 pânu

3 eblu = 1 bûru = 1 kurru 4 pânu ;

60 bûru = 1 shâru = 108 kurru"

Le texte décrypté

La table de correpondances contient des erreurs, montrant que le scribe qui l'a rédigée le premier n'était pas familier de ces unités de mesures.

Le scribe a signé sa tablette, tout en indiquant la date et le lieu où il l'a écrite

"Tablette d’Anu-bêlšunu, fils d’Anu-balâssu-iqbi, descendant de Ahi’ûtu d’Uruk. Main d’Anu-bêlšunu, fils de Nidintu-Ani, descendant de Sîn-leqe-unninnî. A Uruk, le 26e jour du mois de Kislîmu, année 83, Séleucos roi."